Funzioni solo continue | Donna O Tigre?

Tipicamente in fisica-matematica si tratta con equazioni del tipo

(1) $F(x,\lambda)=0$

Dove $x$ è una variabile e $\lambda$ è un parametro: la (1) disegna una curva nel piano $(\lambda,x)$ ; questa curva è detta diagramma di biforcazione. La teoria classica prevede che la funzione $F$ sia liscia, ovvero infinitamente derivabile: questo permette di definire punti speciali del diagramma di biforcazione tramite i valori delle derivate di $F$ . Dalle definizioni analitiche discendono, per i punti speciali, particolari proprietà geometriche: d’altro canto, non è necessaria la regolarità di $F$ affinchè alcuni punti del corrispondente diagramma di biforcazione godano di simili proprietà geometriche.

Concentriamoci sui punti speciali chiamati simple turning points. Un turning point è un punto $(x_c, \lambda_c)$ in cui la derivata di $F$ rispetto ad $x$ è nulla, mentre è diversa da zero quella rispetto ad $\lambda$ ; in formule si ha:

$\left.\partial_x F\right|_{(x_c, \lambda_c)}=0$ ;
$\left.\partial_\lambda F\right|_{(x_c, \lambda_c)}\neq0$ .

Un turning point è simple se la derivata seconda di $F$ rispetto ad $x$ è diversa da zero:

$\left.\partial^2_x F\right|_{(x_c, \lambda_c)}\neq0$

Questa definizione analitica ha una evidente interpretazione geometrica: il diagramma di biforcazione ha, nel simple turning point, una tangente verticale e, almeno localmente, è confinato a destra (o a sinistra) di questa tangente.

Se $F$ è solo continua e non ammette derivate può comunque avere un punto $(x_c,\lambda_c)$ , in un rettangolo aperto $X \times \Lambda$ , che goda di queste proprietà:

i) $x_c$ è un punto di massimo globale per $F(x,\lambda_c)$ in $X$
ii) $F(x_c,\lambda_c)=0$

Definiamo tale punto topological turning point di $F$ in $X\times\Lambda$ . E’ immediato(??) osservare che un simple turning point è anche un topological turning point, mentre un punto singolare, come ad esempio un punto di cuspide, può essere un topological turning point ma non un simple turning point.

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Topological Turning Points

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